Chi Square (X2)
Definisi X2
Suatu ukuran mengenai perbedaan yang terdapat antara frekuensi yang diobservasi dan yang diharapkan adalah statistik X2 (baca kai-kuadrat). Chi Square digunakan dalam uji hipotesis beda lebih dari dua proporsi sampel (uji multinominal).
Formula
fo = frekuensi Observasi
fe=frekuensi Harapan
Beberapa pengujian statistik yang dapat dilakukan dengan menggunakan distribusi X2, yaitu :
1. Pengujian terhadap beda k proporsi sampel, dimana k lebih dari dua.
2. Pengujian terhadap kecocokan distribusi frekuensi data.
3. Pengujian terhadap hubungan (dependency) antara dua variabel.
ANALISIS
Pengujian hipotesis beda k proporsi (k>2)
Analisis :
a. Rumusan Hipotesis:
Terdiri dari hipotesis nol (H0) dan Hipotesis Alternatif (HA). Dalam uji chi square ini terdapat perbedaan proporsi antara kelompok yang satu dengan kelompok yang lain, kita tidak bisa memastikan proporsi mana yang berbeda. Karena dalam pengujian ini hanya ada dua kesimpulan yang berlawanan, yaitu semua proporsi kelompok sama dan tidak semua proporsi kelompok sama. Jika ada yang berbeda, ini tidak dipermasalahkan dalam uji X2.
Rumusan Hipotesis nol (H0) dan Hipotesis Alternatif (HA) adalah :
(H0) : Semua proporsi sama.
(HA) : Tidak semua proporsi sama.
Catatan : HA yang menyatakan tidak semua proporsi sama, berarti minimal satu proporsi sampel yang berbeda.
b. Nilai kritis:
Tingkat signifikansi yang digunakan disesuaikan dengan harapan kesalahan yang diinginkan. Tingkat signifikansi dan banyaknya kategori akan menentukan nilai pembatas antara daerah penerimaan H0 dan daerah penolakan H0. Misalnya pengujian ini menggunakan tingkat signifikansi 5% dan kategori degree of freedom pengujian ini adalah k-1.
c. Nilai Hitung :
Pada langkah ini dilakukan pencarian nilai X2 hitung dengan menggunakan rumus :
fo = frekuensi Observasi
fe=frekuensi Harapan
d. Keputusan :
Pada langkah ini diputuskan apakah pengujian akan menerima H0 atau menolak H0?
Kriteria penerimaan H0 jika nilai X2 hitung lebih kecil daripada nilai X2 kritis. Sebaliknya pengujian akan menolak H0 jika nilai X2 hitung lebih besar daripada nilai X2 kritis. Penjelasan secara grafik kurva distribusi X2 untuk menentukan keputusan dalam pengujian ini dapat juga dilakukan, yakni dengan cara menggambar kurva distribusi X2 dan kemudian ditentukan daerah penerimaan H0 dan daerah penolakan H0. Batas antara daerah penerimaan H0 dan daerah penolakan H0 adalah nilai X2 kritis. Gambar kurva distribusi X2 adalah sebagai berikut :
Daerah penerimaan H0
|
Daerah penolakan H0
|
X2 ;d.f (X2 kritis)
|
H0 diterima apabila : X2 ≤ X2 ;d.f
H0 ditolak apabila : X2 > X2 ;d.f
e. Kesimpulan
Dibuat berdasarkan hasil keputusan pada langkah d. Jika keputusan yang diambil adalah menerima H0, berarti kesimpulannya adalah semua proporsi sampel adalah sama. Sedangkan jika keputusannya adalah menolak H0, berarti kesimpulannya adalah tidak semua proporsi sampel sama.
Contoh Soal :
Sebuah Polling dilakukan untuk mengetahui respon atau pendapat karyawan terhadap perubahan kebijakan perusahaan. Sampel dalam penelitian ini adalah menggunakan karyawan di tiga bagian, yakni produksi, pemasaran, dan personalia. Responden diminta untuk menyatakan apakah setuju atau tidak atas perubahan kebijakan perusahaan tersebut.
Tabel berikut ini adalah data yang diperoleh dari hasil observasi:
Pendapat
|
Bagian
| ||
Produksi
|
Pemasaran
|
Personalia
| |
Setuju
|
20
|
15
|
30
|
Menolak
|
25
|
10
|
10
|
Dengan = 5%, apakah sampel mendukung pernyataan bahwa tidak terdapat perbedaan proporsi pendapat (setuju dan menolak) karyawan di tiga bagian tersebut?
Jawab :
Analisis
1. Rumusan Hipotesis
H0 :
HA : Terdapat perbedaan proporsi pendapat (setuju dan menolak) karyawan di tiga bagian.
2. Nilai kritis
Jumlah kategori kolom (Bagian produksi, pemasaran, dan personalia) adalah 3. Dengan demikian degree of freedom pengujian ini k – 1 = 3 – 1 = 2. Dengan = 5% dan d.f = 2, maka nilai kritis atau pembatas antara daerah penerimaan H0 dan daerah penolakan H0 adalah 5,9915
3. Nilai Hitung
Nilai chi square (X2) dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut ini :
Pendapat
|
Bagian
| ||||||
Produksi
|
Frekuensi Harapan
(fe Produksi)
|
Pemasaran
|
Frekuensi Harapan
(fe Pemasaran)
|
Personalia
|
Frekuensi Harapan
(fe personalia)
|
Jumlah
| |
Setuju
|
20
|
26,6
|
15
|
14,8
|
30
|
23,6
|
65
|
Menolak
|
25
|
18,4
|
10
|
10,2
|
10
|
16,4
|
45
|
Jumlah
|
45
|
25
|
40
|
110
| |||
=
4. Keputusan
Besarnya X2 hitung = 8,257 lebih besar daripada nilai X2 kritis. Dengan demikian nilai X2 hitung berada di daerah penolakan H0. Keputusan dalam pengujian ini adalah menolak H0.
Daerah penerimaan H0
|
Daerah penolakan H0
|
5,9915
|
5. Kesimpulan
Keputusan yang diambil adalah menolak H0, maka kesimpulannya adalah terdapat perbedaan proporsi jumlah pendapat (setuju dan menolak) karyawan di tiga bagian tersebut.
Pengujian Terhadap Ketepatan Distribusi Frekuensi Data (Goodness of Fit test)
Chi square test dapat pula digunakan untuk menguji ketepatan distribusi frekuensi data dengan distribusi tertentu, misalnya distribusi frekuensi data adalah merata, normal, binominal, atau distribusi tertentu.
Analisis :
a. Rumusan Hipotesis:
Terdiri dari hipotesis nol (H0) dan Hipotesis Alternatif (HA). Dalam uji chi square ini terdapat perbedaan proporsi antara kelompok yang satu dengan kelompok yang lain, kita tidak bisa memastikan proporsi mana yang berbeda. Karena dalam pengujian ini hanya ada dua kesimpulan yang berlawanan, yaitu semua proporsi kelompok sama dan tidak semua proporsi kelompok sama. Jika ada yang berbeda, ini tidak dipermasalahkan dalam uji X2.
Rumusan Hipotesis nol (H0) dan Hipotesis Alternatif (HA) adalah :
(H0) : Semua proporsi sama.
(HA) : Tidak semua proporsi sama.
Catatan : HA yang menyatakan tidak semua proporsi sama, berarti minimal satu proporsi sampel yang berbeda.
b. Nilai kritis:
Tingkat signifikansi yang digunakan disesuaikan dengan harapan kesalahan yang diinginkan. Tingkat signifikansi dan banyaknya kategori akan menentukan nilai pembatas antara daerah penerimaan H0 dan daerah penolakan H0. Misalnya pengujian ini menggunakan tingkat signifikansi yang umum digunakan adalah 1%, 5%, dan 10%. Nilai degree of freedom untuk uji kemerataan distribusi dapat ditentukan dengan formulasi k-1.
(Catatan : degree of freedom untuk pengujian distribusi normal adalah k – 2 – 1 . nilai 2 adalah jumlah parameter yang diestimasi, yaitu X untuk dan s untuk )
c. Nilai Hitung :
Pada langkah ini dilakukan pencarian nilai X2 hitung dengan menggunakan rumus :
fo = frekuensi Observasi
fe=frekuensi Harapan
d. Keputusan :
Pada langkah ini diputuskan apakah pengujian akan menerima H0 atau menolak H0?
Kriteria penerimaan H0 jika nilai X2 hitung lebih kecil daripada nilai X2 kritis. Sebaliknya pengujian akan menolak H0 jika nilai X2 hitung lebih besar daripada nilai X2 kritis. Penjelasan secara grafik kurva distribusi X2 untuk menentukan keputusan dalam pengujian ini dapat juga dilakukan, yakni dengan cara menggambar kurva distribusi X2 dan kemudian ditentukan daerah penerimaan H0 dan daerah penolakan H0. Batas antara daerah penerimaan H0 dan daerah penolakan H0 adalah nilai X2 kritis. Gambar kurva distribusi X2 adalah sebagai berikut :
Daerah penerimaan H0
|
Daerah penolakan H0
|
X2 ;d.f (X2 kritis)
|
H0 diterima apabila : X2 ≤ X2 ;d.f
H0 ditolak apabila : X2 > X2 ;d.f
e. Kesimpulan
Dibuat berdasarkan hasil keputusan pada langkah d. Jika keputusan yang diambil adalah menerima H0, berarti kesimpulannya adalah bahwa distribusi frekuensi data merata. Sedangkan jika keputusannya adalah menolak H0, berarti kesimpulannya adalah distribusi frekuensi tidak merata.
Contoh Soal
Marketing Supervisor suatu perusahaan menyatakan bahwa jumlah pembeli yang membeli produk yang dijual di enam outlet merata. Untuk membuktikan pernyataan tersebut, dilakukan penelitian. Penelitian tersebut menggunakan 300 pembeli sebagai sampel. Tabel berikut ini berisi data mengenai jumlah pembeli yang membeli di masing-masing outlet:
Outlet
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
Jumlah pembeli
|
55
|
40
|
60
|
65
|
50
|
30
|
Apakah data yang diperoleh dapat mendukung pernyataan Marketing Supervisor tersebut?
Lakukan pengujian dengan menggunakan tingkat signifikansi 5%.
Jawab :
Analisis
1. Perumusan Hipotesis
H0 : Jumlah pembeli di setiap Outlet adalah merata
HA : jumlah pembeli di setiap Outlet adalah tidak merata.
2. Nilai kritis
Jumlah kategori kolom (Outlet : 1-6) adalah 6. Dengan demikian degree of freedom pengujian ini k – 1 = 6 – 1 = 5. Dengan = 5% dan d.f = 5, maka nilai kritis atau pembatas antara daerah penerimaan H0 dan daerah penolakan H0 adalah 11,070.
3. Nilai Hitung
Nilai chi square (X2) dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut ini :
Frekuensi harapan (fe) adalah 300/6 = 50. Dengan kata lain, pada jumlah pembeli 300 orang, pembelian merata di enam Outlet jika jumlah pembeli di masing-masing Outlet adalah 50 orang.
Outlet
|
Pembeli (f0)
|
Frekuensi Harapan (fe)
| |
1
|
55
|
50
|
0,5
|
2
|
40
|
50
|
2
|
3
|
60
|
50
|
2
|
4
|
65
|
50
|
4,5
|
5
|
50
|
50
|
0
|
6
|
30
|
50
|
8
|
=
4. Keputusan
Besarnya X2 hitung = 17 dan nilai X2 kritis = 11,070 nilai X2 hitung lebih besar dari nilai X2 kritis. Dengan demikian nilai X2 hitung berada di daerah penolakan H0. Dengan demikian Keputusan dalam pengujian ini adalah menolak H0.
Daerah penerimaan H0
|
Daerah penolakan H0
|
11,070
|
5. Kesimpulan
Keputusan yang diambil adalah menolak H0, maka kesimpulannya adalah distribusi jumlah pembeli di enam outlet adalah tidak merata.
Uji Tabel Kontingensi
Dalam menganalisis masalah ekonomi dan bisnis kita sering dihadapkan pada pertanyaan apakah dua variabel memiliki hubungan (dependen) atau tidak berhubungan (independen). Pengujian hipotesis hubungan antara dua variable dapat dilakukan dengan menggunakan uji X2. Caranya adalah dengan membagi masing-masing variabel kedalam beberapa kategori.
Analisis :
a. Rumusan Hipotesis:
Terdiri dari hipotesis nol (H0) dan Hipotesis Alternatif (HA). Dalam uji chi square ini terdapat hubungan antara kelompok yang satu dengan kelompok yang lain, kita tidak bisa memastikan kelompok mana yang tidak memiliki hubungan. Karena dalam pengujian ini hanya ada dua kesimpulan yang berlawanan, yaitu semua kelompok berhubungan dan tidak semua kelompok berhubungan. Jika ada yang berbeda, ini tidak dipermasalahkan dalam uji X2.
Rumusan Hipotesis nol (H0) dan Hipotesis Alternatif (HA) adalah :
(H0) : Semua kelompok tidak berhubungan (independen).
(HA) : Semua kelompok berhubungan (dependen).
b. Nilai kritis:
Tingkat signifikansi yang digunakan disesuaikan dengan harapan kesalahan yang diinginkan. Tingkat signifikansi dan banyaknya kategori akan menentukan nilai pembatas antara daerah penerimaan H0 dan daerah penolakan H0. Misalnya pengujian ini menggunakan tingkat signifikansi yang umum digunakan adalah 1%, 5%, dan 10%. Nilai degree of freedom untuk uji kemerataan distribusi dapat ditentukan dengan formulasi (jumlah kategori kolom – 1)(jumlah kategori baris – 1).
c. Nilai Hitung :
Pada langkah ini dilakukan pencarian nilai X2 hitung dengan menggunakan rumus :
fo = frekuensi Observasi
fe=frekuensi Harapan
d. Keputusan :
Pada langkah ini diputuskan apakah pengujian akan menerima H0 atau menolak H0?
Kriteria penerimaan H0 jika nilai X2 hitung lebih kecil daripada nilai X2 kritis. Sebaliknya pengujian akan menolak H0 jika nilai X2 hitung lebih besar daripada nilai X2 kritis. Penjelasan secara grafik kurva distribusi X2 untuk menentukan keputusan dalam pengujian ini dapat juga dilakukan, yakni dengan cara menggambar kurva distribusi X2 dan kemudian ditentukan daerah penerimaan H0 dan daerah penolakan H0. Batas antara daerah penerimaan H0 dan daerah penolakan H0 adalah nilai X2 kritis. Gambar kurva distribusi X2 adalah sebagai berikut :
Daerah penerimaan H0
|
Daerah penolakan H0
|
X2 ;d.f (X2 kritis)
|
H0 diterima apabila : X2 ≤ X2 ;d.f
H0 ditolak apabila : X2 > X2 ;d.f
e. Kesimpulan
Dibuat berdasarkan hasil keputusan pada langkah d. Jika keputusan yang diambil adalah menerima H0, berarti kesimpulannya adalah semua kelompok adalah tidak berhubungan (independen). Sedangkan jika keputusannya adalah menolak H0, berarti kesimpulannya adalah kelompok saling berhubungan (dependen).
Contoh Soal :
Suatu badan research ingin menyelidiki apakah peristiwa berbagai macam kejahatan bervariasi dari kota yang satu dengan kota yang lain. Analisa dari 981 kasus menunjukkan hasil sebagai berikut:
Macam Kejahatan :
Kota
|
Perampokan
|
Penodongan
|
Penjambretan
|
A
|
12
|
122
|
191
|
B
|
17
|
261
|
275
|
C
|
7
|
44
|
109
|
Apakah data tersebut cukup memberi indikasi bahwa terjadinya berbagai macam kejahatan berhubungan dengan kota-kota tersebut. Ujilah dengan = 5%.
Jawab :
Analisis :
1. Hipotesis
H0 : Berbagai macam kejahatan tidak berhubungan dengan kota-kota (independen).
HA : Berbagai macam kejahatan berhubungan dengan kota-kota (dependen).
2. Nilai kritis
Pengujian ini menggunakan tingkat signifikansi ( ) = 5% dan d.f = (3-1)(3-1) = 4
Nilai X2 krisis : 9,488
3. Nilai Hitung
Pada langkah ini dilakukan pencarian nilai X2 hitung dengan menggunakan rumus :
Kota
|
Perampokan
|
Penodongan
|
Penjambretan
|
Total baris
|
A
|
12 (11,27)
|
122 (133,69)
|
191 (180,03)
|
325
|
B
|
17 (19,18)
|
261 (227,49)
|
275 (306,33)
|
553
|
C
|
7 (5,55)
|
44 (65,82)
|
109 (88,63)
|
160
|
Total kolom
|
36
|
427
|
575
|
1038
|
NB : Nilai dalam kurung adalah frekuensi harapan (fe) dari masing-masing sel
X2=
= 0,05 + 1,02 + 0,67 + 0,25 + 4,94 + 3,20 + 0,38 + 7,23 + 4,68 = 22,42
4. Keputusan
Batas antara daerah penerimaan H0 dan daerah penolakan H0 atau X2 kritis adalah sebagai berikut :
Daerah penerimaan H0
|
Daerah penolakan H0
|
9,488
|
Besarnya X2 hitung = 22,42 lebih besar dari pada nilai X2 kritis = 9,488. Dengan demikian nilai X2 hitung berada di daerah penolakan H0. Keputusan dalam pengujian ini adalah menolak H0 .
5. Kesimpulan
Keputusan yang diambil adalah menolak H0 , maka kesimpulannya adalah antara berbagai macam kejahatan dan kota berhubungan (dependen).
Daftar Pustaka
Spiegel,Murray R.1996.STATISTIKA.Edisi Kedua.Jakarta:PENERBIT ERLANGGA
Djarwanto dan Pangestu Subagyo.1996.STATISTIK INDUKTIF.Edisi Keempat. Yogyakarta:BPFE Yogyakarta
Algifari.2003.STATISTIKA INDUKTIF.Edisi Kedua.Yogyakarta:UPP AMP YKPN
Mendenhall,William dan James E.Reinmuth.STATISTIK UNTUK MANAJEMEN DAN EKONOMI.Edisi Keempat.Jakarta:PENERBIT ERLANGGA
No comments:
Post a Comment